Die Texte basieren auf dem Kapitel "Bewertung und Finanzierung von Versorgungsverpflichtungen" des Handbuchs Betriebliche Altersversorgung, zuletzt 2012 erschienen im C.F. Müller Verlag.
Ein männlicher Berechtigter hat Anspruch auf eine lebenslänglich laufende Rente von jährlich 1.000 €, zahlbar jeweils zum Anfang des Jahres.
Es handelt es sich um eine ungewisse Verpflichtung, denn zum Stichtag ist nicht bekannt, wie viele Jahresrenten insgesamt fällig werden. Erst in der Zukunft kann bestimmt werden, wie hoch die Lebensdauer des Berechtigten ist. Zum Stichtag ist lediglich das Alter des Berechtigten bekannt..
Wenn man die Lebensdauer des Berechtigten kennt, dann hätte man statt der ungewissen Verpflichtung eine gewisse Verpflichtung. Anstelle einer Vielzahl von möglichen Zahlungsströmen wäre nur noch ein ganz bestimmter Zahlungsstrom zu betrachten, für den Zahlungszeitpunkte (Jahresbeginn bis zum Todesjahr des Berechtigten) und die Zahlbeträge (Jahresrente in Höhe von 1.000 €) bekannt wären. Damit kann der finanzmathematische Barwert für diesen Zahlungsstrom leicht berechnet werden.
Allerdings ist nicht bekannt, welcher der verschiedenen Zahlungsströme künftig eintreten wird. Doch man kennt auf Grund statistischer Erhebungen für jeden Zahlungsstrom die Wahrscheinlichkeit, dass dieser realisiert wird. In diesem Fall handelt es sich um die Wahrscheinlichkeit, dass der Berechtigte noch eine bestimmte Anzahl von Jahren lebt.
Damit ist für jeden Zahlungsstrom ein finanzmathematischer Barwert zu ermitteln, der genau ausreicht, diese gewisse Verpflichtung zu erfüllen. Es geht in einem zweiten Schritt darum, einen gemeinsamen Wert für alle Zahlungsströme zu bestimmen.
Ein leicht verständliches Vorgehen wäre die Bestimmung des gemeinsamen Wert der ungewissen Verpflichtung als gewogenes Mittel über die Werte aller möglichen Zahlungsströmen. Man multipliziert ( = gewichtet) die finanzmathematischen Barwerte aller möglichen Zahlungsströme mit der jeweiligen Wahrscheinlichkeit, dass diese eintreten, und addiert alle so erhaltenen Beträge auf.
In unserem Beispiel heißt das: Für jedes zukünftig möglichen Todesjahr des Berechtigten wird der finanzmathematischen Barwert der Verpflichtungen berechnet und mit der Wahrscheinlichkeit, dass dieses Zahlungsstrom zum Tragen kommt, multipliziert. Die Summe der Werte für alle Zahlungsströme ergibt den Wert der lebenslänglich laufenden Rente zu dem betrachteten Stichtag.
Man spricht hier von einem versicherungsmathematischen Barwert der Verpflichtung oder einfach vom Barwert der Verpflichtung. Der Barwert stellt also ein gewogenes Mittel dar. Aktuariell spricht man vom Erwartungswert des Erfüllungsbetrags der ungewissen Verpflichtung. Die Gewichtung erfolgt mit den versicherungsmathematischen Sterbewahrscheinlichkeiten.
Dieses Verfahren wird am Beispiel eines 65-jährigen Rentners (geboren 1955) dargestellt, der Anspruch auf eine jährlich vorschüssig zu zahlende Rente vom Jahresbetrag 1.000 € hat.
Spalte | Erläuterung auf Basis der Richttafeln 2018 G von Klaus Heubeck und einem Rechnungszins von 6 % p. a. |
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Alter | erreichtes Alter im Zeitpunkt des Todes des Rentners |
Wahrscheinlichkeit | Wahrscheinlichkeit des 65-jährigen Rentners, in dem in Spalte 1 angegebenen Alter zu sterben |
Barwert | finanzmathematischer Barwert in €, der zum Alter 65 benötigt wird, um unter Berücksichtigung von Zins und Zinseszins die Rente bis zu dem in Spalte 1 angegebenen Alter zu zahlen. |
Alter | Wahr- schein- lichkeit | Barwert | Alter | Wahr- schein- lichkeit | Barwert | Alter | Wahr- schein- lichkeit | Barwert | Alter | Wahr- schein-lichkeit | Barwert | Alter | Wahr-schein- lichkeit | Barwert |
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65 | 0,013101 | 1.000,00 | 76 | 0,021360 | 8.886,86 | 86 | 0,043702 | 12.764,03 | 96 | 0,02385 | 14.928,96 | 106 | 0,00142 | 16.137,89 |
66 | 0,013691 | 1.943,40 | 77 | 0,022840 | 9.383,83 | 87 | 0,045825 | 13.041,53 | 97 | 0,01981 | 15.083,91 | 107 | 0,00097 | 16.224,43 |
67 | 0,014264 | 2.833,40 | 78 | 0,024537 | 9.852,67 | 88 | 0,047423 | 13.303,32 | 98 | 0,01608 | 15.230,09 | 108 | 0,00065 | 16.306,07 |
68 | 0,014826 | 3.673,02 | 79 | 0,026454 | 10.294,97 | 89 | 0,047199 | 13.550,29 | 99 | 0,01276 | 15.368,00 | 109 | 0,00043 | 16.383,09 |
69 | 0,015388 | 4.465,11 | 80 | 0,028583 | 10.712,23 | 90 | 0,045442 | 13.783,28 | 100 | 0,00990 | 15.498,10 | 110 | 0,00028 | 16.455,75 |
70 | 0,015969 | 5.212,36 | 81 | 0,030905 | 11.105,87 | 91 | 0,04298 | 14.003,80 | 101 | 0,00752 | 15.620,84 | 111 | 0,00018 | 16.524,30 |
71 | 0,016589 | 5.917,31 | 82 | 0,033390 | 11.477,23 | 92 | 0,03987 | 14.210,44 | 102 | 0,00559 | 15.736,63 | 112 | 0,00012 | 16.588,97 |
72 | 0,017279 | 6.582,36 | 83 | 0,035991 | 11.827,57 | 93 | 0,03624 | 14.406,06 | 103 | 0,00408 | 15.845,87 | 113 | 0,00007 | 16.649,98 |
73 | 0,018071 | 7.209,77 | 84 | 0,038644 | 12.158,08 | 94 | 0,03224 | 14.590,61 | 104 | 0,00292 | 15.948,93 | 114 | 0,00005 | 16.707,54 |
74 | 0,018996 | 7.801,67 | 85 | 0,041255 | 12.469,88 | 95 | 0,02805 | 14.764,71 | 105 | 0,00206 | 16.046,16 | 115 | 0,00007 | 16.761,84 |
75 | 0,020085 | 8.360,07 |
Als gewogenes Mittel der mit den Wahrscheinlichkeiten aus der Spalte Wahrscheinlichkeit gewichteten finanzmathematischen Barwerte aus der Spalte Barwert ergibt sich 11.133 €, dies ist derer Barwert einer lebenslänglich jährlich im Voraus zu zahlenden Rente vom Jahresbetrag 1.000 € auf der Basis der Richttafeln 2018 G von Klaus Heubeck und einem Zins von 6 % p. a.
Die höchste Wahrscheinlichkeit nach den Richttafeln 2018 G von Klaus Heubeck für die Beispielperson in einem Alter zu sterben ist das 88. Lebensjahr. Dies ist nicht die Lebenserwartung sondern nur der wahrscheinlichste Wert. Dort hat der finanzmathematische Barwert einen Wert in Höhe von 13.303 € (markierter Wert).
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